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Zuletzt geändert von Henrik Horstmann am 2026/10/19 18:55
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1 === 1. Gleichheit der Verkettungen ===
2
3 Gegeben sind die Funktionen
4
5 {{formula}}f(x)=x^2,\qquad g_{a,b}(x)=ax+b,\qquad a,b\in\mathbb R.{{/formula}}
6
7 Die beiden Verkettungen lauten:
8
9 {{formula}}(f\circ g_{a,b})(x)=(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2{{/formula}}
10
11 {{formula}}(g_{a,b}\circ f)(x)=ax^2+b{{/formula}}
12
13 Sie stimmen als Funktionen genau dann überein, wenn ihre Werte für alle reellen Eingaben gleich sind. Daher muss gelten:
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15 {{formula}}a(a-1)x^2+2abx+b(b-1)=0\qquad\text{für alle }x\in\mathbb R.{{/formula}}
16
17 Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
18
19 {{formula}}a(a-1)=0,\qquad 2ab=0,\qquad b(b-1)=0.{{/formula}}
20
21 Die erste Gleichung liefert zwei Fälle:
22
23 * '''Fall {{formula}}a=0{{/formula}}:''' Die zweite Gleichung ist automatisch erfüllt. Die dritte liefert {{formula}}b=0{{/formula}} oder {{formula}}b=1{{/formula}}.
24 * '''Fall {{formula}}a=1{{/formula}}:''' Aus der zweiten Gleichung folgt {{formula}}b=0{{/formula}}. Damit ist auch die dritte Gleichung erfüllt.
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26 Somit gilt:
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28 {{formula}}\boxed{f\circ g_{a,b}=g_{a,b}\circ f\iff (a,b)\in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}.}{{/formula}}
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30 Zur Kontrolle:
31
32 {| class="wikitable"
33 ! Parameterpaar
34 ! Funktion
35 ! Beide Verkettungen
36 |-
37 | {{formula}}(0,0){{/formula}}
38 | {{formula}}g(x)=0{{/formula}}
39 | konstante Funktion mit Wert 0
40 |-
41 | {{formula}}(0,1){{/formula}}
42 | {{formula}}g(x)=1{{/formula}}
43 | konstante Funktion mit Wert 1
44 |-
45 | {{formula}}(1,0){{/formula}}
46 | {{formula}}g(x)=x{{/formula}}
47 | Funktion mit Term {{formula}}x^2{{/formula}}
48 |}
49
50 '''Die Behauptung der Schülerin ist falsch.''' In diesen drei Fällen stimmen die Verkettungen für alle Eingaben überein.
51
52 Auch wenn man unter einer linearen Funktion nur Funktionen mit {{formula}}a\ne 0{{/formula}} versteht, bleibt {{formula}}g(x)=x{{/formula}} ein Gegenbeispiel.
53
54 === 2. Aussage und Beweis für alle Fälle ===
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56 ==== Satz ====
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58 Für die gegebene Funktionenfamilie gilt:
59
60 * Bei den Parameterpaaren {{formula}}(0,0){{/formula}}, {{formula}}(0,1){{/formula}} und {{formula}}(1,0){{/formula}} stimmen die Verkettungen für alle reellen Eingaben überein.
61 * Bei allen anderen Parameterpaaren stimmen sie an höchstens zwei verschiedenen reellen Stellen überein.
62
63 ==== Beweis ====
64
65 Wir betrachten das Differenzpolynom:
66
67 {{formula}}D_{a,b}(x)=(f\circ g_{a,b})(x)-(g_{a,b}\circ f)(x)=a(a-1)x^2+2abx+b(b-1).{{/formula}}
68
69 Dieses Polynom hat höchstens Grad zwei.
70
71 * Ist es das Nullpolynom, stimmen die Verkettungen überall überein. Der Koeffizientenvergleich aus Teil 1 liefert genau die drei genannten Parameterpaare.
72 * Ist es nicht das Nullpolynom, besitzt es höchstens zwei verschiedene reelle Nullstellen. Genau an diesen Stellen stimmen die Verkettungen überein.
73
74 Damit ist der Satz bewiesen.
75
76 ==== Genauere Fallunterscheidung ====
77
78 Die Anzahl der reellen Eingaben, an denen die Verkettungen denselben Wert liefern, lässt sich vollständig bestimmen:
79
80 {| class="wikitable"
81 ! Parameterbedingungen
82 ! Anzahl verschiedener Stellen mit gleichem Ergebnis
83 |-
84 | {{formula}}(a,b)\in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}{{/formula}}
85 | alle reellen Stellen
86 |-
87 | {{formula}}a=0,\quad b\notin\{0,1\}{{/formula}}
88 | keine
89 |-
90 | {{formula}}a=1,\quad b\ne 0{{/formula}}
91 | genau eine
92 |-
93 | {{formula}}a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)<0{{/formula}}
94 | keine
95 |-
96 | {{formula}}a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)=0{{/formula}}
97 | genau eine
98 |-
99 | {{formula}}a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)>0{{/formula}}
100 | genau zwei
101 |}
102
103 '''Begründung:'''
104
105 Für {{formula}}a=0{{/formula}} ist das Differenzpolynom konstant:
106
107 {{formula}}D_{0,b}(x)=b(b-1).{{/formula}}
108
109 Es ist entweder das Nullpolynom oder besitzt keine Nullstelle.
110
111 Für {{formula}}a=1{{/formula}} und {{formula}}b\ne 0{{/formula}} ist das Differenzpolynom linear:
112
113 {{formula}}D_{1,b}(x)=b(2x+b-1).{{/formula}}
114
115 Es besitzt genau eine Nullstelle:
116
117 {{formula}}x=\frac{1-b}{2}.{{/formula}}
118
119 Für {{formula}}a\notin\{0,1\}{{/formula}} ist das Differenzpolynom quadratisch. Seine Diskriminante lautet:
120
121 {{formula}}\Delta=(2ab)^2-4a(a-1)b(b-1)=4ab(b+a-1).{{/formula}}
122
123 Eine negative Diskriminante bedeutet keine reelle Nullstelle, eine Diskriminante von null genau eine und eine positive Diskriminante genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.
124
125 ==== Vollständigkeit ====
126
127 Die Fälle {{formula}}a=0{{/formula}}, {{formula}}a=1{{/formula}} und {{formula}}a\notin\{0,1\}{{/formula}} erfassen alle reellen Werte des Parameters.
128
129 Innerhalb dieser Fälle wurden sämtliche Möglichkeiten für das konstante, lineare beziehungsweise quadratische Differenzpolynom berücksichtigt. Die Untersuchung ist daher vollständig.
130
131 === 3. Vergleich an drei verschiedenen Stellen ===
132
133 ==== Für die vorliegende Funktionenfamilie ====
134
135 '''Der Vorschlag ist geeignet.'''
136
137 Stimmen die Verkettungen an drei verschiedenen Stellen {{formula}}x_1,x_2,x_3{{/formula}} überein, gilt:
138
139 {{formula}}D_{a,b}(x_1)=D_{a,b}(x_2)=D_{a,b}(x_3)=0.{{/formula}}
140
141 Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad höchstens zwei kann jedoch nicht drei verschiedene Nullstellen besitzen. Daher muss das Differenzpolynom das Nullpolynom sein.
142
143 Folglich stimmen die Verkettungen für alle reellen Eingaben überein.
144
145 '''Wichtig:''' Die drei Stellen müssen verschieden sein, und die Gleichheit der Werte muss exakt nachgewiesen werden. Gerundete Zahlenwerte allein liefern keinen Beweis.
146
147 Zwei Vergleichsstellen reichen im Allgemeinen nicht aus. Beispielsweise ergibt sich für {{formula}}a=2{{/formula}} und {{formula}}b=1{{/formula}}:
148
149 {{formula}}D_{2,1}(x)=2x^2+4x=2x(x+2).{{/formula}}
150
151 Die Verkettungen stimmen bei {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} überein, sind aber nicht als Funktionen gleich.
152
153 ==== Für beliebige Funktionen ====
154
155 '''Bei beliebigen Funktionen reichen drei Vergleichsstellen nicht aus.'''
156
157 Ein Gegenbeispiel liefern die Funktionen:
158
159 {{formula}}u(x)=0,\qquad v(x)=x(x-1)(x-2).{{/formula}}
160
161 An den drei Stellen 0, 1 und 2 stimmen die Funktionen überein. Trotzdem sind sie nicht gleich, denn:
162
163 {{formula}}u(3)=0,\qquad v(3)=6.{{/formula}}
164
165 Auch wenn ausschließlich Verkettungen verglichen werden, reicht das Verfahren bei beliebigen Funktionen nicht aus. Wähle beispielsweise:
166
167 {{formula}}F(x)=x+1,\qquad G(x)=x+x(x-1)(x-2)(x-3).{{/formula}}
168
169 An den Stellen 0, 1 und 2 stimmen die Verkettungen überein:
170
171 {{formula}}(F\circ G)(0)=(G\circ F)(0)=1,{{/formula}}
172
173 {{formula}}(F\circ G)(1)=(G\circ F)(1)=2,{{/formula}}
174
175 {{formula}}(F\circ G)(2)=(G\circ F)(2)=3.{{/formula}}
176
177 An der Stelle 3 unterscheiden sie sich jedoch:
178
179 {{formula}}(F\circ G)(3)=4,\qquad (G\circ F)(3)=28.{{/formula}}
180
181 '''Fazit:''' Nicht die Anzahl der geprüften Stellen allein ist entscheidend, sondern die bekannte Struktur der Funktionen. Bei der vorliegenden Funktionenfamilie macht die Gradschranke des Differenzpolynoms den Drei-Stellen-Vergleich zu einem Beweis.