Lösung Ebbe und Flut

Um 4:00 Uhr (\(t = 4\)):
\(h(4) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(4 - 1)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4= 3{,}2 \cdot 1 + 4 = \mathbf{7{,}2\text{ m}}\)

Um 10:20 Uhr \(\left(t = 10 + \frac{20}{60} = \frac{31}{3}\right)\):
\(h\left(\frac{31}{3}\right) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\left(\frac{31}{3} - 1\right)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) + 4\approx 3{,}2 \cdot (-0{,}9848) + 4 = -3{,}15 + 4 = \mathbf{0{,}85\text{ m}}\)

Höchster Wasserstand:
Den höchsten Wasserstand können wir bestimmen, indem wir zu der y-Verschiebung die Amplitude addieren: 4m+3,2m=7,2m.
Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass zum Zeitpunkt \(t=4\), also um 4:00 Uhr der Wasserstand 7,2m erreicht. Da die Periode 12 beträgt wissen wir zudem, dass der Wasserstand 12 Stunden später, also um 16:00 Uhr (\(t=16\)) erreicht wird.

Niedrigster Wasserstand:
Wir bestimmen den niedrigsten Wasserstand analog, indem wir von der y-Verschiebung die Amplitude subtrahieren: 4m-3,2m=0,8m.
Um einen Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Höhe 0,8m beträgt, setzen wir \(h(t)=0{,}8\):
\(0{,}8= 3{,}2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) + 4 \ \Leftrightarrow -3{,}2= 3{,}2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) \ \Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) = -1 \)

Die Sinusfunktion nimmt erstmals den Wert \(-1\) an, wenn das Argument \(\frac{3}{2}\pi\) ist, das heißt : \( \frac{\pi}{6}(t - 1)=\frac{3}{2}\pi \Leftrightarrow t=10\)
Somit wird um 10 Uhr und um 22 Uhr (12 Stunden später) der niedrigste Wasserstand erreicht.

Wir suchen alle \(t\) für die \(h(t)\geq 5{,}5\) gilt. Wir setzen also \(h(t)= 5{,}5\) und stellen nach \(t\) um:
\(3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) + 4 = 5{,}5 \ \Leftrightarrow \ 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= 1{,}5 \ \Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= \frac{1{,}5}{3{,}2}\)
Den ersten Zeitpunkt erhalten wir mit Hilfe der Umkehrfunktion der Sinufunktion(\(\sin^{-1}\)):
\(\frac{\pi}{6}(t_1 - 1)=\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_1= \frac{6}{\pi}\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) +1 \approx 1{,}93\)
Hinweis: Denke daran, deinen Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) zu stellen.

Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion ergibt sich der nächste Zeitpunkt, an dem der Wasserstand wieder 5,5m beträgt durch \(\frac{\pi}{6}(t_2 - 1)=\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_2= \frac{\pi}{6} \left(\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right)\right)+1 \approx 6{,}07\)

Das Fischerboot kann den Hafen also zwischen \(t_1 \approx 1{,}93\) und \(t_2 \approx 6{,}07\), das heißt zwischen etwa *1:56 Uhr bis 6:04 Uhr*, den Hafen verlassen.

Wegen der Periodität der Sinusfunktion gibt es 12 Stunden später einen weiteren Zeitraum, in dem das Boot den Hafen verlassen kann, nämlich zwischen etwa *13:56 Uhr und 18:04 Uhr*.

Stehen Sonne, Mond und Erde in einer Linie, so addieren sich die Kräfte. Das heißt, für den Betrag der Kräfte gilt: \(F_{\text{Springflut}}=F_{\text{Mond}}+F_{\text{Sonne}}\)
Da der Einfluss des Mondes doppelt so hoch ist wie der Einfluss der Sonne, gilt \(F_{\text{Mond}}=2\cdot F_{\text{Sonne}}\) und somit
\(F_{\text{Springflut}}=2\cdot F_{\text{Sonne}}+ F_{\text{Sonne}}=3\cdot F_{\text{Sonne}}\).
Die Amplitude \(a\) der Springflut beträgt 3,2m, daher entspricht
\(3F_{\text{Sonne}} \ \widehat{=}3{,}2 \ \text{m} \ \implies F_{\text{Sonne}} \ \widehat{=} \ \frac{3{,}2}{3}\text{m}\approx 1{,}07 \text{m}\)
und somit \(F_{\text{Sonne}} \ \widehat{=} \ 2\cdot 2\cdot \frac{3{,}2}{3} \approx 2{,}13 \text{m}\)

Bei der Nippflut wirken die Einflüsse entgegengesetzt, also:
\(A_{\text{Nippflut}}\approx 2{,}13\text{m}-1{,}07 \text{m} =1{,}07\text{m}\)

Der maximale Wasserstand wäre damit \(h_{max}=4\text{m}+1{,}07\text{m}=5{,}07\text{m}\).