Lösung Schnittfremd und Gegenereignis

Ist \(B\) das Gegenereignis von \(A\) (\(B=\overline{A}\)), so sind die beiden Ereignisse schnittfremd, das heißt, es gilt \(A \cap B = \emptyset\).

Andersherum gilt diese Folgerung allerdings nicht zwingend. Wenn \(A \cap B = \emptyset\) folgt nicht automatisch, dass \(B\) das Gegenereignis von \(A\) ist. Damit \(B=\overline{A}\) gilt, muss zusätzlich die Vereinigungsmenge der beiden Ereignisse die gesamte Ergebnismenge \(S\) ergeben, das heißt es muss \(A \cup B = S\) gelten.

Aus der Aussage „\(B\) ist das Gegenereignis von \(A\)“ folgt somit die Aussage „\(A\) und \(B\) sind schnittfremd“, die Umkehrung gilt jedoch nicht allgemein.

Beispiel: 
Wir betrachten die Ergebnismenge \(S=\{1;2;3\}\) mit den Ereignissen \(A=\{1\}\) und \(B=\{2\}\). Dann sind zwar die Mengen \(A\) und \(B\) schnittfremd (\(A \cap B = \emptyset\)), allerdings ist \(B\) nicht das Gegenereignis von \(A\), denn \(\overline{A}={2; 3} \neq B\).