Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Henrik Horstmann am 2026/10/22 07:51
Zeige letzte Bearbeiter
1 Gegeben ist die Verteilung:
2
3 |=Ergebnis|=Wahrscheinlichkeit
4 | {{formula}}A{{/formula}} | {{formula}}t{{/formula}}
5 | {{formula}}B{{/formula}} | {{formula}}2t{{/formula}}
6 | {{formula}}C{{/formula}} | {{formula}}\frac{1}{2}-t{{/formula}}
7 | {{formula}}D{{/formula}} | {{formula}}\frac{1}{2}-2t{{/formula}}
8
9 === 1. Zulässige Werte von {{formula}}t{{/formula}}
10
11 Für eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen alle Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sein und ihre Summe muss eins betragen.
12
13 Die Summe ist:
14
15 {{formula}}t+2t+\left(\frac{1}{2}-t\right)+\left(\frac{1}{2}-2t\right)=1{{/formula}}
16
17 Sie beträgt für jeden Wert von {{formula}}t{{/formula}} eins. Nun werden die Bedingungen der Nichtnegativität geprüft:
18
19 |=Bedingung|=Folgerung
20 | {{formula}}t\geq 0{{/formula}} | {{formula}}t\geq 0{{/formula}}
21 | {{formula}}2t\geq 0{{/formula}} | {{formula}}t\geq 0{{/formula}}
22 | {{formula}}\frac{1}{2}-t\geq 0{{/formula}} | {{formula}}t\leq\frac{1}{2}{{/formula}}
23 | {{formula}}\frac{1}{2}-2t\geq 0{{/formula}} | {{formula}}t\leq\frac{1}{4}{{/formula}}
24
25 Alle Bedingungen müssen gleichzeitig gelten. Daher ist der zulässige Parameterbereich:
26
27 {{formula}}t\in\left[0,\frac{1}{4}\right]{{/formula}}
28
29 === 2. Ist eine Gleichverteilung möglich?
30
31 Bei vier gleichwahrscheinlichen Ergebnissen müsste jede Wahrscheinlichkeit {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}} betragen.
32
33 Aus der Wahrscheinlichkeit von {{formula}}A{{/formula}} müsste gelten:
34
35 {{formula}}t=\frac{1}{4}{{/formula}}
36
37 Aus der Wahrscheinlichkeit von {{formula}}B{{/formula}} müsste dagegen gelten:
38
39 {{formula}}2t=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{8}{{/formula}}
40
41 Diese Bedingungen können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Es gibt also keinen Wert von {{formula}}t{{/formula}}, für den die ursprüngliche Verteilung eine Gleichverteilung ist.
42
43 === 3. Mindestens 25 % höhere Wahrscheinlichkeit
44
45 Die Ereigniswahrscheinlichkeiten sind:
46
47 {{formula}}P(\{B,C\})=2t+\left(\frac{1}{2}-t\right)=\frac{1}{2}+t{{/formula}}
48
49 {{formula}}P(\{A,D\})=t+\left(\frac{1}{2}-2t\right)=\frac{1}{2}-t{{/formula}}
50
51 „Um mindestens 25 % höher“ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von {{formula}}\{B,C\}{{/formula}} mindestens das {{formula}}1{,}25{{/formula}}-Fache der Wahrscheinlichkeit von {{formula}}\{A,D\}{{/formula}} beträgt. Daher gilt:
52
53 {{formula}}\frac{1}{2}+t\geq 1{,}25\left(\frac{1}{2}-t\right){{/formula}}
54
55 Umformen ergibt:
56
57 {{formula}}\frac{1}{2}+t\geq\frac{5}{8}-\frac{5}{4}t{{/formula}}
58
59 {{formula}}\frac{9}{4}t\geq\frac{1}{8}\quad\Longrightarrow\quad t\geq\frac{1}{18}{{/formula}}
60
61 Zusammen mit dem zulässigen Parameterbereich aus Teil 1 folgt:
62
63 {{formula}}t\in\left[\frac{1}{18},\frac{1}{4}\right]{{/formula}}
64