Lösung Wahrscheinlichkeitsverteilung
Gegeben ist die Verteilung:
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| \(A\) | \(t\) |
| \(B\) | \(2t\) |
| \(C\) | \(\frac{1}{2}-t\) |
| \(D\) | \(\frac{1}{2}-2t\) |
1. Zulässige Werte von \(t\)
Für eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen alle Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sein und ihre Summe muss eins betragen.
Die Summe ist:
Sie beträgt für jeden Wert von \(t\) eins. Nun werden die Bedingungen der Nichtnegativität geprüft:
| Bedingung | Folgerung |
|---|---|
| \(t\geq 0\) | \(t\geq 0\) |
| \(2t\geq 0\) | \(t\geq 0\) |
| \(\frac{1}{2}-t\geq 0\) | \(t\leq\frac{1}{2}\) |
| \(\frac{1}{2}-2t\geq 0\) | \(t\leq\frac{1}{4}\) |
Alle Bedingungen müssen gleichzeitig gelten. Daher ist der zulässige Parameterbereich:
2. Ist eine Gleichverteilung möglich?
Bei vier gleichwahrscheinlichen Ergebnissen müsste jede Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\) betragen.
Aus der Wahrscheinlichkeit von \(A\) müsste gelten:
Aus der Wahrscheinlichkeit von \(B\) müsste dagegen gelten:
Diese Bedingungen können nicht gleichzeitig erfüllt sein. Es gibt also keinen Wert von \(t\), für den die ursprüngliche Verteilung eine Gleichverteilung ist.
3. Mindestens 25 % höhere Wahrscheinlichkeit
Die Ereigniswahrscheinlichkeiten sind:
„Um mindestens 25 % höher“ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von \(\{B,C\}\) mindestens das \(1{,}25\)-Fache der Wahrscheinlichkeit von \(\{A,D\}\) beträgt. Daher gilt:
Umformen ergibt:
Zusammen mit dem zulässigen Parameterbereich aus Teil 1 folgt: