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Wiki-Quellcode von Lösung Stichprobe

Zuletzt geändert von Henrik Horstmann am 2026/10/20 13:49
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1 === Ergebnis ===
2
3 * **Ohne Zurücklegen sind mindestens 5 Ziehungen nötig.**
4 * **Mit Zurücklegen sind mindestens 7 Ziehungen nötig.**
5
6 Der Schlüssel ist das **Gegenereignis**: Statt alle Möglichkeiten mit mindestens einer roten Kugel einzeln zu betrachten, berechnet man die Wahrscheinlichkeit, **nur blaue Kugeln** zu ziehen.
7
8 {{formula}}
9 P(\text{mindestens einmal Rot})=1-P(\text{nur Blau})
10 {{/formula}}
11
12 Die geforderte Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent wird also genau dann erreicht, wenn gilt:
13
14 {{formula}}
15 P(\text{nur Blau})\leq 0{,}1
16 {{/formula}}
17
18 === Lösungsweg 1: Pfadregel und schrittweises Rechnen ===
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20 ==== Ohne Zurücklegen ====
21
22 Wird eine blaue Kugel gezogen, liegen anschließend weniger blaue Kugeln und insgesamt weniger Kugeln in der Urne. Für den Pfad „nur Blau“ werden deshalb die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
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24 Nach vier Ziehungen gilt:
25
26 {{formula}}
27 P(\text{nur Blau bei 4 Ziehungen})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{6}
28 {{/formula}}
29
30 Damit ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel noch zu klein:
31
32 {{formula}}
33 P(\text{mindestens einmal Rot bei 4 Ziehungen})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx 83{,}33\,\%
34 {{/formula}}
35
36 Nach fünf Ziehungen gilt:
37
38 {{formula}}
39 P(\text{nur Blau bei 5 Ziehungen})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{12}
40 {{/formula}}
41
42 Also:
43
44 {{formula}}
45 P(\text{mindestens einmal Rot bei 5 Ziehungen})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx 91{,}67\,\%
46 {{/formula}}
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48 **Vier Ziehungen reichen nicht, fünf reichen aus.** Da die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen roten Treffer mit zusätzlichen Ziehungen nicht abnimmt, sind fünf Ziehungen die kleinste mögliche Anzahl.
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50 ==== Mit Zurücklegen ====
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52 Bei jeder Ziehung beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau erneut sieben Zehntel. Die Ziehungen sind unabhängig. Daher gilt:
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54 {{formula}}
55 P(\text{nur Blau bei }n\text{ Ziehungen})=0{,}7^n
56 {{/formula}}
57
58 Für sechs Ziehungen erhält man:
59
60 {{formula}}
61 P(\text{mindestens einmal Rot bei 6 Ziehungen})=1-0{,}7^6=0{,}882351=88{,}2351\,\%
62 {{/formula}}
63
64 Für sieben Ziehungen erhält man:
65
66 {{formula}}
67 P(\text{mindestens einmal Rot bei 7 Ziehungen})=1-0{,}7^7=0{,}9176457=91{,}76457\,\%
68 {{/formula}}
69
70 **Sechs Ziehungen reichen nicht, sieben reichen aus.** Deshalb sind mindestens sieben Ziehungen nötig.
71
72 === Lösungsweg 2: Kombinatorik beziehungsweise Logarithmen ===
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74 ==== Ohne Zurücklegen: Kugelauswahlen zählen ====
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76 Man kann sich die Kugeln zur Rechnung nummeriert vorstellen, auch wenn sie sich tatsächlich nur in ihrer Farbe unterscheiden.
77
78 Bei einer Auswahl von {{formula}}n{{/formula}} Kugeln gibt es insgesamt {{formula}}\binom{10}{n}{{/formula}} gleich wahrscheinliche Kugelmengen. Davon enthalten {{formula}}\binom{7}{n}{{/formula}} ausschließlich blaue Kugeln. Für höchstens sieben Ziehungen gilt somit:
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80 {{formula}}
81 P(\text{mindestens einmal Rot})=1-\frac{\binom{7}{n}}{\binom{10}{n}}
82 {{/formula}}
83
84 Für vier beziehungsweise fünf Ziehungen folgt:
85
86 {{formula}}
87 P(\text{mindestens einmal Rot bei 4 Ziehungen})=1-\frac{\binom{7}{4}}{\binom{10}{4}}=1-\frac{35}{210}=\frac{5}{6}<0{,}9
88 {{/formula}}
89
90 {{formula}}
91 P(\text{mindestens einmal Rot bei 5 Ziehungen})=1-\frac{\binom{7}{5}}{\binom{10}{5}}=1-\frac{21}{252}=\frac{11}{12}>0{,}9
92 {{/formula}}
93
94 Damit ergibt sich wieder: **mindestens fünf Ziehungen**.
95
96 ==== Mit Zurücklegen: Ungleichung lösen ====
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98 Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}}, für die gilt:
99
100 {{formula}}
101 1-0{,}7^n\geq 0{,}9 \quad\Longleftrightarrow\quad 0{,}7^n\leq 0{,}1
102 {{/formula}}
103
104 Logarithmieren liefert:
105
106 {{formula}}
107 n\ln(0{,}7)\leq\ln(0{,}1)
108 {{/formula}}
109
110 **Achtung:** Da {{formula}}\ln(0{,}7){{/formula}} negativ ist, dreht sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen um.
111
112 {{formula}}
113 n\geq\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}7)}\approx 6{,}456
114 {{/formula}}
115
116 Da nur ganze Ziehungen möglich sind, wird aufgerundet: **mindestens sieben Ziehungen**.
117
118 === Lösungsweg 3: Wertetabelle ===
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120 Auch durch systematisches Berechnen der Trefferwahrscheinlichkeiten lässt sich die Mindestanzahl bestimmen. Die Werte sind gerundet.
121
122 |=Anzahl der Ziehungen|=Mindestens einmal Rot: ohne Zurücklegen|=Mindestens einmal Rot: mit Zurücklegen
123 |1|30,00 %|30,00 %
124 |2|53,33 %|51,00 %
125 |3|70,83 %|65,70 %
126 |4|83,33 %|75,99 %
127 |5|**91,67 %**|83,19 %
128 |6|96,67 %|88,24 %
129 |7|99,17 %|**91,76 %**
130
131 Die erste Überschreitung der 90-Prozent-Grenze erfolgt ohne Zurücklegen bei der **fünften**, mit Zurücklegen bei der **siebten Ziehung**.
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133 === Vergleich und Begründung ===
134
135 **Ohne Zurücklegen erreicht man das Ziel mit zwei Ziehungen weniger.**
136
137 Solange noch keine rote Kugel gezogen wurde, wurden ausschließlich blaue Kugeln entfernt. Dadurch steigt der Rotanteil in der verbleibenden Urne: Die Wahrscheinlichkeit für Rot bei der nächsten Ziehung steigt zunächst von {{formula}}\frac{3}{10}{{/formula}} auf {{formula}}\frac{3}{9}{{/formula}}, dann auf {{formula}}\frac{3}{8}{{/formula}} und so weiter.
138
139 **Mit Zurücklegen** bleibt die Zusammensetzung dagegen unverändert. Die Wahrscheinlichkeit für Rot beträgt bei jeder Ziehung weiterhin 30 Prozent.