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Lösung Lotfußpunkt auf Gerade

Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/10/26 18:02
  1. \(G_r(1|3+r|r)\)
  2. \(\overrightarrow{PG_r}=\begin{pmatrix}1\\3+r\\r\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\r\\r-5\end{pmatrix}\)
  3. Die beiden Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn deren Skalarprodukt null ergibt. Dadurch ergibt sich für \(r_0\):
    \(\begin{align*} \begin{pmatrix}0\\r_0\\r_0-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} &= 0 \\ \Leftrightarrow 0 \cdot 0 + r_0 \cdot 1 + (r_0 - 5) \cdot 1 &= 0 \\ \Leftrightarrow 2r_0 - 5 &= 0 &&\mid +5 \\ \Leftrightarrow 2r_0 &= 5 &&\mid :2 \\ \Leftrightarrow r_0 &= \frac{5}{2}=2{,}5 \end{align*}\)
    Steht \(\overrightarrow{PG_r}\) senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden, so bildet die Strecke \(PG_{r_0}\) das Lot von \(P\) auf \(g\). Geometrisch gesehen ist das Lot die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt und der Geraden, weshalb \(d(P;G_{r_0})=d(P;g)\) gilt.