Lösung Pyramide

a)

1. Form der Grundfläche bestimmen
   Vom Punkt A aus ergeben sich die Seitenvektoren:
   \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix} \)
   Da außerdem \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \) und \( \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) gelten, ist die Grundfläche ein Parallelogramm.

2. Grundflächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist der Betrag des Kreuzprodukts seiner Seitenvektoren:
\(G=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right| \Rightarrow \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\cdot0-0\cdot4\\0\cdot2-6\cdot0\\6\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\20\end{pmatrix} \)
Damit beträgt der Grundflächeninhalt:
\(G=20\,\mathrm{m}^2 \)

3. Höhe und Volumen bestimmen
Alle Eckpunkte der Grundfläche liegen in der Ebene z=0. Die Spitze S(3|3|5) hat zu dieser Ebene den senkrechten Abstand:
\(h=5\,\mathrm{m}\)
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
\(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot20\cdot5\,\mathrm{m}^3=\frac{100}{3}\,\mathrm{m}^3\approx33{,}33\,\mathrm{m}^3\)
Der Pavillon enthält rund \(33{,}33\,\mathrm{m}^3 \) Luft.

b)
Aussage des Planungsteams überprüfen
Wird die Spitze senkrecht um einen Meter angehoben, liegt sie bei S'(3|3|6). Die Grundfläche bleibt unverändert, die neue Höhe beträgt \(h'=6\,\mathrm{m}\).
\(V'=\frac{1}{3}\cdot20\cdot6\,\mathrm{m}^3=40\,\mathrm{m}^3\)
Die relative Volumenzunahme beträgt:
\(\frac{V'-V}{V}=\frac{40-\frac{100}{3}}{\frac{100}{3}}=\frac{1}{5}=20\,\%\)
Die Aussage des Planungsteams stimmt: Bei unveränderter Grundfläche ist das Pyramidenvolumen proportional zur Höhe. Eine Erhöhung von fünf auf sechs Meter vergrößert daher auch das Volumen um zwanzig Prozent.

c)
Da nur das Volumen vorgegeben ist, gibt es viele passende Entwürfe. Wir wählen zunächst eine rechteckige Grundfläche in der Ebene z=0.

1. Passende Abmessungen finden
   Für eine Pyramide gilt:
   \( V=\frac{1}{3}Gh \)
   Mit dem gewünschten Volumen erhalten wir:
   \( Gh=120\,\mathrm{m}^3 \)
   Wir wählen eine sechs Meter lange und vier Meter breite Grundfläche. Dann gilt:
   \( G=6\cdot4\,\mathrm{m}^2=24\,\mathrm{m}^2 \)
   Daraus folgt die notwendige Höhe:
   \(h=\frac{3V}{G}=\frac{120\,\mathrm{m}^3}{24\,\mathrm{m}^2}=5\,\mathrm{m} \)
   2. Eckpunkte festlegen
   Passende Koordinaten sind:
   A(0|0|0), B(6|0|0), C(6|4|0), D(0|4|0), S(3|2|5)
   Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
   3. Rechteckige Grundfläche nachweisen
   Die Seitenvektoren vom Punkt A aus lauten:
   \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix} \)
   Ihr Skalarprodukt ist null:
   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0 \)
   Die benachbarten Seiten sind somit senkrecht. Außerdem gilt:
   \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} \)
   Damit ist ABCD ein Rechteck mit dem Flächeninhalt  \(G=24\,\mathrm{m}^2 \).
   4. Höhe und Volumen überprüfen
   Die Grundfläche liegt in der Ebene z=0. Der Lotfuß der Spitze ist daher H(3|2|0).
   \(\overrightarrow{HS}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix} \)
   Dieser Vektor steht senkrecht auf der Grundflächenebene und hat die Länge 5. Die Pyramidenhöhe beträgt also tatsächlich  \(5\,\mathrm{m} \).
   Damit ergibt sich:
   \(V=\frac{1}{3}\cdot24\cdot5\,\mathrm{m}^3=40\,\mathrm{m}^3 \)
   Der Entwurf erfüllt alle Vorgaben.
   5. Einen weiteren Entwurf entwickeln
   Wir behalten die Grundfläche bei, verschieben aber die Spitze parallel zur Grundflächenebene:
   S'(2|1|5)
   Die Spitze hat weiterhin den senkrechten Abstand  \(5\,\mathrm{m} \) zur Ebene z=0. Grundflächeninhalt und Höhe bleiben unverändert, also gilt auch:
   \(V'=\frac{1}{3}\cdot24\cdot5\,\mathrm{m}^3=40\,\mathrm{m}^3 \)
   Erkenntnis: Die Spitze kann bei unveränderter Grundfläche innerhalb der Ebene z=5 verschoben werden, ohne das Volumen zu verändern. Die Form des Pavillons ändert sich dabei, sein Volumen jedoch nicht