Lösung Saugroboter

Untersuchung der Spann-/Richtungsvektoren:
- Der erste Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} \) bewegt den Roboter ausschließlich in \(x_1\)-Richtung.
- Der zweite Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \) bewegt ihn gleichzeitig in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung.

Da zudem der Stützvektor in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind, kann der Roboter jeden Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene erreichen. Weil die dritte Koordinate immer null bleibt, kann er allerdings keinen Punkt außerhalb dieser Ebene erreichen.

Zwei linear unabhängige Richtungsvektoren spannen eine Ebene im dreidimensionalen Raum auf. Sie reichen also nicht aus, um den gesamten dreidimensionalen Raum abzudecken. Selbst wenn der Roboter seine Bewegungen beliebig oft kombiniert, bleibt er auf diese Ebene beschränkt.
Damit der Roboter jeden Punkt im dreidimensionalen Raum erreichen kann, benötigt er einen dritten, linear unabhängigen Richtungsvektor, der eine Bewegung in \(x_3\)-Richtung ermöglicht.

Eine passende Parameterform wäre beispielsweise:
\(\vec{x}= \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

mit \(r,s,t\in\mathbb{R}\).