Lösung Winkelberechnung rückwärts
Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/10/13 09:12
Die Geraden besitzen denselben Stützvektor und schneiden sich daher in Punkt \(S(-4|0|4)\).
Die Richtungsvektoren lauten \( \vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\k\end{pmatrix},\qquad\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\)
Für den Winkel zwischen zwei Geraden gilt \( \cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} \)
Der soll Schnittwinkel 60° betragen. Somit gilt \( \cos(60^\circ)=\frac12 \)
1. Skalarprodukt berechnen
\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot1+(-1)\cdot2+k\cdot(-2) = -2k \]
2. Beträge der Richtungsvektoren berechnen
\[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+k^2} = \sqrt{5+k^2} \]
\[ |\vec{v}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3 \]
3. Winkelbedingung aufstellen
\[ \frac{|-2k|}{3\sqrt{5+k^2}} = \frac12 \]
Daraus folgt \( 4|k| = 3\sqrt{5+k^2} \)
Nun quadrieren wir beide Seiten:
\[ 16k^2 = 9(5+k^2) \]
\[ 16k^2 = 45+9k^2 \]
\[ 7k^2 = 45 \]
\[ k^2 = \frac{45}{7} \]
Somit erhält man
\[k = \pm\sqrt{\frac{45}{7}} = \pm\frac{3\sqrt{35}}{7} \]
Ergebnis
Für den Parameter gilt:
\[ \boxed{k=\pm\sqrt{\frac{45}{7}}} \]
bzw. äquivalent
\[ \boxed{k=\pm\frac{3\sqrt{35}}{7}} \]