Lösung Geradengleichung in Parameterform

Vorbereitung: Richtungsvektor von g

Eine Gleichung \(\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{v}\) beschreibt die Gerade g genau dann, wenn beide Bedingungen erfüllt sind:

1. Der Stützvektor \(\vec{p}\) gehört zu einem Punkt auf g (z. B. \(A\) oder \(B\)).
   2. Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) ist ein Vielfaches (ungleich \(\vec{0}\)) von \(\overrightarrow{AB}\).

Weg 1: Über den Aufbau der Parametergleichung

a) \(g_1\)

1. Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\) ist der Ortsvektor von \(B\), also gehört er zu einem Punkt auf g. ✔
   2. Der Richtungsvektor ist ein Vielfaches von \(\overrightarrow{AB}\):
   \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ✔

Beide Bedingungen sind erfüllt. Also gehört \(g_1\) zur Geraden g.

b) \(g_2\)

1. Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist der Ortsvektor von \(A\). ✔
   2. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ist genau \(\overrightarrow{AB}\). ✔

Beide Bedingungen sind erfüllt. Also gehört \(g_2\) zur Geraden g.

c) \(g_3\)

1. Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist der Ortsvektor von \(A\). ✔
   2. Wir prüfen, ob \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\) ein Vielfaches von \(\overrightarrow{AB}\) ist. Dann müsste es ein \(k\) geben mit
   \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
   I: \(5=4k \Rightarrow k=\frac{5}{4}\)
   II: \(4=2k \Rightarrow k=2\)
   Das ist ein Widerspruch. Die Vektoren sind nicht parallel. ✘

Die Gerade \(g_3\) hat eine andere Richtung als g. Der Ortsvektor von \(B\) wurde als Richtungsvektor verwendet, statt den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}\) zu bilden. Also gehört \(g_3\) nicht zu g.

Weg 2: Mit der Punktprobe

Eine Gleichung gehört zu g, wenn \(A\) und \(B\) beide auf ihr liegen.

a) \(g_1\)

Punkt \(B\): \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\)
Mit \(t=0\) sind alle drei Zeilen erfüllt. \(B\) liegt auf \(g_1\) (es ist der Stützpunkt).

Punkt \(A\): \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
I: \(5+2t=1 \Rightarrow t=-2\)
II: \(4+t=2 \Rightarrow t=-2\)
III: \(7+2t=3 \Rightarrow t=-2\)
Alle Zeilen liefern \(t=-2\). \(A\) liegt auf \(g_1\).

Da zwei Punkte eine Gerade eindeutig festlegen, gehört \(g_1\) zur Geraden g. ✔

b) \(g_2\)

Punkt \(A\): Mit \(t=0\) ergibt sich \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). \(A\) liegt auf \(g_2\) (es ist der Stützpunkt).

Punkt \(B\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\)
I: \(1+4t=5 \Rightarrow t=1\)
II: \(2+2t=4 \Rightarrow t=1\)
III: \(3+4t=7 \Rightarrow t=1\)
Alle Zeilen liefern \(t=1\). \(B\) liegt auf \(g_2\).

Also gehört \(g_2\) zur Geraden g. ✔

c) \(g_3\)

Punkt \(A\): Mit \(t=0\) ergibt sich \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). \(A\) liegt auf \(g_3\) (es ist der Stützpunkt).

Punkt \(B\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\)
I: \(1+5t=5 \Rightarrow t=\frac{4}{5}\)
II: \(2+4t=4 \Rightarrow t=\frac{1}{2}\)
Die Zeilen liefern verschiedene Werte für \(t\). Das ist ein Widerspruch. \(B\) liegt nicht auf \(g_3\).

Also gehört \(g_3\) nicht zur Geraden g. ✘

Also folgt:

Die Gleichungen \(g_1\) und \(g_2\) gehören zur Geraden g, die Gleichung \(g_3\) nicht.

\(g_1\) und \(g_2\) beschreiben dieselbe Gerade, obwohl sie unterschiedlich aussehen: Sie haben verschiedene Stützpunkte (\(B\) bzw. \(A\)) und Richtungsvektoren unterschiedlicher Länge, die aber parallel zueinander sind.
Bei \(g_3\) liegt \(B\) nicht auf der Geraden, und der Richtungsvektor ist nicht parallel zu \(\overrightarrow{AB}\).