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Wiki-Quellcode von Lösung Fläche halbieren

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/21 10:27
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1 Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = e^{-x}{{/formula}}
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3 Der Graph von //f// schließt im Intervall {{formula}}[0, \ln(3)]{{/formula}} zusammen mit der x-Achse und den Geraden {{formula}}x = 0{{/formula}} und {{formula}}x = \ln(3){{/formula}} eine geschlossene Fläche ein.
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5 Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Hälften teilt.
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7 **Berechnung der Gesamtfläche**
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9 {{formula}}A = \int_0^{\ln(3)} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = \text{...} = \frac{2}{3}{{/formula}}
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11 **Obergrenze bis zur Hälfte**
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13 {{formula}}\int_0^u e^{-x} dx = \frac{1}{3}{{/formula}}
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15 {{formula}}\Rightarrow \left[ -e^{-x} \right]_0^u = \frac{1}{3}{{/formula}}
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17 {{formula}}\Rightarrow -e^{-u} - (-e^0) = \frac{1}{3}{{/formula}}
18
19 {{formula}}\Rightarrow -e^{-u} + 1 = \frac{1}{3}{{/formula}}
20
21 {{formula}}\Rightarrow e^{-u} = \frac{2}{3}\,\,\text{|}\,\ln{{/formula}}
22
23 {{formula}}\Rightarrow -u = \ln\left(\frac{2}{3}\right){{/formula}}
24
25 {{formula}}\Rightarrow u = -\ln\left(\frac{2}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right){{/formula}}
26
27 {{formula}}\Rightarrow g: x = \ln(1{,}5){{/formula}}