Lösung Fläche halbieren
Version 2.1 von Holger Engels am 2026/10/21 10:26
Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x) = e^{-x}\)
Der Graph von f schließt im Intervall \([0, \ln(3)]\) zusammen mit der x-Achse und den Geraden \(x = 0\) und \(x = \ln(3)\) eine geschlossene Fläche ein.
Gesucht ist die Geradengleichung \(x = u\) (mit \(0 < u < \ln(3)\)), welche diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Hälften teilt.
Berechnung der Gesamtfläche
\(A = \int_0^{\ln(3)} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = \text{...} = \frac{2}{3}\)
Obergrenze bis zur Hälfte
\(\int_0^u e^{-x} dx = \frac{1}{3}\)
\[\Rightarrow \left[ -e^{-x} \right]_0^u = \frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow -e^{-u} - (-e^0) = \frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow -e^{-u} + 1 = \frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow e^{-u} = \frac{2}{3}\,\,\text{|}\,\ln\]
\[\Rightarrow -u = \ln\left(\frac{2}{3}\right)\]
\[\Rightarrow u = -\ln\left(\frac{2}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right)\]
\[\Rightarrow g: x = \ln(1{,}5)\]