Änderungen von Dokument BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung
Zuletzt geändert von Debora Kemm am 2026/10/20 09:45
Von Version 67.2
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/10/09 08:06
am 2026/10/09 08:06
Änderungskommentar:
Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 18.1
bearbeitet von Niklas Wunder
am 2023/10/24 15:58
am 2023/10/24 15:58
Änderungskommentar:
Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (2 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
-
Anhänge (0 geändert, 0 hinzugefügt, 3 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Dokument-Autor
-
... ... @@ -1,1 +1,1 @@ 1 -xwiki:XWiki. holgerengels1 +xwiki:XWiki.niklaswunder - Inhalt
-
... ... @@ -6,114 +6,18 @@ 6 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen {{niveau}}e{{/niveau}} 7 7 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen {{niveau}}e{{/niveau}} 8 8 9 -== Flächen == 10 -{{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" zeit="10"}} 11 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2\sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 9 +{{aufgabe id="Fläche zwischen Tiefpunkten" afb="2" kompetenzen="K5,K4" quelle="Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1" cc="" niveau="" zeit=""}} 10 +Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2+2sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 12 12 13 13 Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von //K// schließen //K// und die x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 14 14 {{/aufgabe}} 15 15 16 -{{aufgabe id="Flächeninhalt graphisch bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Mohammed Abuhammad, Dirk Tebbe" cc="" niveau="" zeit="7"}} 17 -Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=2 \sin(\frac{\pi}{4}x)+2; x\in\mathbb{R}{{/formula}}. Das Schaubild von //f// ist //K//. 18 - 19 -Bestimmen Sie u so, dass {{formula}} 20 -\int_{4}^{u} f(x)\, dx = 24 21 -{{/formula}}. 22 -{{/aufgabe}} 23 - 24 -{{aufgabe id="Fläche halbieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}} 25 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = e^{-x}{{/formula}} 26 - 27 -Der Graph von //f// schließt im Intervall {{formula}}[0, \ln(3)]{{/formula}} zusammen mit der x-Achse und den Geraden {{formula}}x = 0{{/formula}} und {{formula}}x = \ln(3){{/formula}} eine geschlossene Fläche ein. 28 - 29 -Gesucht ist die Geradengleichung {{formula}}x = u{{/formula}} (mit {{formula}}0 < u < \ln(3){{/formula}}), welche diese Fläche in zwei inhaltsgleiche Hälften teilt. 30 -{{/aufgabe}} 31 - 32 -{{aufgabe id="Fläche, Quadrat" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} 33 -Gegeben ist die in {{formula}} \mathbb{R} {{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f:x\mapsto-x^2+2ax{{/formula}} mit {{formula}}a\in\left]1;+\infty\right[{{/formula}}. Die Nullstellen von {{formula}} f{{/formula}} sind {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}2a{{/formula}}. 34 - 35 -1. Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, den Inhalt {{formula}} \frac{4}{3}a^3 {{/formula}} hat. 36 -1. Der Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von {{formula}}a{{/formula}}. 37 -[[image:Graph-x^2 2ax.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 38 -{{/aufgabe}} 39 - 40 -{{aufgabe id="Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>hhttps://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}} 41 -Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}} und {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}}. 42 - 43 -1. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an, so dass der Punkt {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} auf dem Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} liegt. 44 -1. Berechne in Abhängigkeit von {{formula}}a{{/formula}} den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt. 45 - 46 -__Hinweis__: 47 -Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig. 48 - 49 -**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**: 50 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}}, wobei {{formula}}a\in\mathbb{R}^+{{/formula}} eine feste Zahl ist. 51 - 52 -1. Der Punkt {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} liegt auf dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}}. Gib den Wert von {{formula}}a{{/formula}} an. 53 -1. Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von {{formula}}f{{/formula}} mit der //x//-Achse einschließt. 54 - 55 -{{/aufgabe}} 56 - 57 -{{aufgabe id="Symmetrie und Flächeninhalt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}} 58 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-4x{{/formula}}. 59 - 60 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. 61 -1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechne den Inhalt dieser Fläche. 62 -{{/aufgabe}} 63 - 64 -{{aufgabe id="Dragster" afb="II" kompetenzen="" quelle="" zeit="" tags=""}} 65 -Die Funktion //v// mit {{formula}}v(t)=35-35\cdot e^{-2t}{{/formula}} beschreibt den Geschwindigkeitsverlauf eines Fahrzeugs bei einem Junior Dragsterrennen. Berechne die Zeit auf 1/10 s genau, wann das Fahrzeug //200 m// zurückgelegt hat. 66 -{{/aufgabe}} 67 - 68 -{{aufgabe id="Gezeitenkraftwerk" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Thomas Hermann" zeit="20min"}} 69 -Im Gezeitenkraftwerk Sihwa-ho in Südkorea kann der Durchfluss durch den Damm durch die folgende Sinus Funktion modelliert werden: 70 -[[image:Sinusfkt.png||width="600" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 71 - 72 -(%class=abc%) 73 -1. Gib die Periodendauer an. 74 -1. Bestimme eine grobe Abschätzung für das Volumen des Speichersees. 75 -1. Bestimme ein Funktionsterm für die Durchflussrate. 76 -1. Berechne das minimal benötigte Volumen des Speichersees. 77 -{{/aufgabe}} 78 - 79 -== Volumen == 80 -{{aufgabe id="Geometrische Körper" afb="I" kompetenzen="K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="3"}} 81 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=5 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. 82 -Gib an, ob sich bei dem Drehkörper um einen geometrischen Körper handelt. 83 - 84 -(%class=abc%) 85 -1. {{formula}}f(x)=5{{/formula}} 86 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} 87 -1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}x+1{{/formula}} 88 -1. {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}} 89 -{{/aufgabe}} 90 - 91 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 1" afb="I" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="" zeit="5"}} 92 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen mit den Koordinatenachsen und der Geraden {{formula}} x=2 {{/formula}} jeweils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. 93 - 94 -(%class=abc%) 95 -1. {{formula}}f(x)=\sqrt{8x+1}{{/formula}} 96 -1. {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} 97 -{{/aufgabe}} 98 - 99 -{{aufgabe id="Volumenberechnung 2" afb="II" kompetenzen="K5,K4" quelle="Martina Wagner" cc="" niveau="2" zeit="10"}} 100 -Die Graphen der folgenden Funktionen begrenzen im Intervall {{formula}} [0;4]{{/formula}} jewils ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper. Berechne jeweils das Volumen. 101 - 102 -(%class=abc%) 103 -1. {{formula}}f(x)=x+9{{/formula}} 104 -1. {{formula}}f(x)=x^2+7x{{/formula}} 105 -1. {{formula}}f(x)=e^{2x}-1{{/formula}} 106 -{{/aufgabe}} 107 - 108 -{{aufgabe id="Gabriels Horn" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}} 109 -**Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete ** 15 +{{aufgabe id="Horn von Torecelli" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" niveau="e" zeit="15"}} 16 +**Volumen- und Mantelflächeninhalte** 110 110 Die Funktion f ist gegeben durch {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} mit der Defintionsmenge {{formula}} D=[1;\infty[{{/formula}}. 111 - 112 -[[image:GabrielHorn.png]] 113 113 a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall {{formula}} I=[1;\infty[{{/formula}} um die x-Achse rotiert. 114 -b) Zeige,dass dieMantelfläche M(Oberfläche des Rotationskörpers)desRotationskörpersunendlich ist. Hinweis: Schätzedie Mantelflächedazugegen eine Flächeab, die kleinerist alsdieMantelfläche,aber immer nocheinenunendlichenWertesitzt.Hierzubietet sichdie harmonischeReihe an fürdie gilt{formula}}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty{{/formula}}.115 - c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch {{formula}} M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung {{formula}}\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1 {{/formula}} für alle {{formula}} x \in \mathbb{R} {{/formula}}.19 +b) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich durch {{formula}} M(x)= 2\cdot \pi \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx{{/formula}} 20 + 116 116 {{/aufgabe}} 117 117 118 - 119 -{{seitenreflexion/}} 23 +{{seitenreflexion kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
- GabrielHorn.png
-
- Author
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -XWiki.niklaswunder - Größe
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -94.1 KB - Inhalt
- Graph-x^2 2ax.PNG
-
- Author
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -XWiki.akukin - Größe
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -55.2 KB - Inhalt
- Sinusfkt.png
-
- Author
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -XWiki.thomashermann - Größe
-
... ... @@ -1,1 +1,0 @@ 1 -365.3 KB - Inhalt