Lösung Integralfunktion graphisch

Gegeben ist der Graph einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion f.
Betrachtet wird die Integralfunktion  \(J_0(x) = \int_0^x f(t)dt\).

1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert \(J_0(4)\) entspricht.
   

2. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte \(J_0(2)\) und \(J_0(4)\) größer ist.
   \(J_0(4)\) ist größer. \(J_0(2)\) entspricht der positiven Fläche unter der Kurve von 0 bis 2. \(J_0(4)\) der von 0 bis 4.

3. Begründe, an welcher Stelle  \(x_0 \in [0;\,7] \) die Integralfunktion  \(J_0 \) die kleinste Steigung besitzt.
   Das ist die Stelle, wo für ein \(\Delta x\) am wenigsten Fläche unter der Kurve dazukommt, also die Stelle, wo f den niedrigsten Funktionswert hat. Im Schaubild ist das die Stelle x = 2.

4. Begründe, dass \(J_0\) auf dem Intervall \([0;\,7]\) streng monoton steigend ist.
   Der Graph von f verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Alternative Begründungen für c) und d)

Es gilt: \(J_0'(x) = f(x)\)

Die Kurve im Schaubild ist also die Steigungsfunktion von \(J_0\). Die Steigung von \(J_0\) ist dort am niedrigsten, wo f den kleinsten Funktionswert hat. Die Steigung von \(J_0\) ist überall positiv, weil die Funtionswerte von f überall positiv sind.