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Version 1.1 von Holger Engels am 2026/10/21 09:07
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1 Gegeben ist der Graph einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion //f//.
2 Betrachtet wird die Integralfunktion {{formula}}J_0(x) = \int_0^x f(t)dt{{/formula}}.
3 (%class="abc" %)
4 1. (((Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert {{formula}}J_0(4){{/formula}} entspricht.
5 [[image:Integralfunktion 0_4.svg||width=450]]
6 )))
7 1. (((Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte {{formula}}J_0(2){{/formula}} und {{formula}}J_0(4){{/formula}} größer ist.
8 {{formula}}J_0(4){{/formula}} ist größer. {{formula}}J_0(2){{/formula}} entspricht der //positiven// Fläche unter der Kurve von //0// bis //2//. {{formula}}J_0(4){{/formula}} der von //0// bis //4//.
9 )))
10 1. (((Begründe, an welcher Stelle {{formula}}x_0 \in [0;\,7] {{/formula}} die Integralfunktion {{formula}}J_0 {{/formula}} die kleinste Steigung besitzt.
11 Das ist die Stelle, wo für ein {{formula}}\Delta x{{/formula}} am wenigsten Fläche unter der Kurve dazukommt, also die Stelle, wo //f// den niedrigsten Funktionswert hat. Im Schaubild ist das die Stelle //x = 2//.
12 )))
13 1. (((Begründe, dass {{formula}}J_0{{/formula}} auf dem Intervall {{formula}}[0;\,7]{{/formula}} streng monoton steigend ist.
14 Der Graph von //f// verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.
15 )))
16
17 **Alternative Begründungen für c) und d)**
18
19 Es gilt: {{formula}}J_0'(x) = f(x){{/formula}}
20
21 Die Kurve im Schaubild ist also die Steigungsfunktion von {{formula}}J_0{{/formula}}. Die Steigung von {{formula}}J_0{{/formula}} ist dort am niedrigsten, wo //f// den kleinsten Funktionswert hat. Die Steigung von {{formula}}J_0{{/formula}} ist überall positiv, weil die Funtionswerte von //f// überall positiv sind.