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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen nutzen
5 5  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von Integrationsgrenzen bei gegebenem Integralwert nutzen
6 6  
7 -{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
7 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
8 8  Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
9 9  
10 10  * Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
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14 14  Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
15 15  {{/aufgabe}}
16 16  
17 +{{aufgabe id="Integrale berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Benjamin Kaiser, Debora Kemm" zeit="15"}}
18 +[[image:Funktion f(x).png||class=right width=450]](%class="abc" %)
19 +1. Berechne das Integral der Funktion {{formula}}f(x) = x^3-2x^2{{/formula}}. Die Grenzen des Integrals sind die beiden Nullstellen. Der Graph der Funktion ist rechts abgebildet.
20 +1. Berechne das Integral der folgenden Funktion im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}} {{formula}}g(x) = 2e^{(-3x+1)}{{/formula}}.
21 +1. Berechne das Integral von //h(x)// im Intervall {{formula}}I[0;3]{{/formula}}.
22 +
23 +|=x|-1|0| 1|2| 3|4
24 +|=h(x)|1,5|0|-1,5|0|7,5|24
25 +|=H(x)|2,13|3|2,13|1|4,13|19
26 +{{/aufgabe}}
27 +
28 +{{aufgabe id="HDI erklären" afb="II" kompetenzen="K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
29 +Gegeben ist eine stetige Funktion {{formula}}f{{/formula}}. Die zugehörige Integralfunktion mit unterer Grenze {{formula}}a{{/formula}} ist definiert durch
30 +{{formula}}
31 +J_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
32 +{{/formula}}
33 +
34 +(%class="abc" %)
35 +1. Erläutere in eigenen Worten, was der Funktionswert {{formula}}J_a(x){{/formula}} geometrisch bedeutet. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an.
36 +1. Gib den Wert {{formula}}J_a(a){{/formula}} an und begründe deine Antwort.
37 +1. Erläutere den Zusammenhang zwischen {{formula}}J_a{{/formula}}und f.
38 +{{/aufgabe}}
39 +
40 +{{aufgabe id="HDI anwenden" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="10"}}
41 +Ein Schüler behauptet:
42 +
43 +"Die Funktion G mit {{formula}}G(x) = \int_2^x f(t)\,dt {{/formula}} und die Funktion H mit {{formula}}H(x) = \int_5^x f(t)\,dt{{/formula}} sind verschiedene Funktionen. Daher kann f nicht gleichzeitig die Ableitung von G und von H sein."
44 +
45 +(%class="abc" %)
46 +1. Begründe, unter welchen Voraussetzungen G und H verschiedene Funktionen sind.
47 +1. Erkläre, ob die Aussage des Schülers wahr oder falsch ist.
48 +{{/aufgabe}}
49 +
50 +{{aufgabe id="Integralfunktion graphisch" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="Sommerfeld" zeit="15"}}
51 +Gegeben ist der Graph einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion f.
52 +[[image:graph_f.png||class=right width=450]]
53 +Betrachtet wird die Integralfunktion {{formula}}J_0(x) = \int_0^x f(t)dt {{/formula}}.
54 +(%class="abc" %)
55 +1. Markiere in der Skizze farbig den Flächeninhalt, der dem Wert {{formula}}J_0(4) {{/formula}} entspricht.
56 +1. Entscheide ohne Rechnung, welcher der beiden Funktionswerte {{formula}}J_0(2) {{/formula}} und {{formula}}J_0(4){{/formula}} größer ist.
57 +1. Begründe, an welcher Stelle {{formula}}x_0 \in [0;\,7] {{/formula}} die Integralfunktion {{formula}}J_0 {{/formula}} die kleinste Steigung besitzt.
58 +1. Begründe, dass {{formula}}J_0 {{/formula}} auf dem Intervall {{formula}}[0;\,7] {{/formula}} streng monoton steigend ist.
59 +{{/aufgabe}}
60 +
61 +{{aufgabe id="Flächen abschätzen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" quelle="Thomas Hermann" zeit="5"}}
62 +Gegeben sind die Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen f und g mit {{formula}}f(x)=x\cdot e^x{{/formula}} und
63 +{{formula}}g(x)=log_{10}(x+1,5)+1{{/formula}}.
64 +
65 +[[image:xEhochxlog.png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
66 +
67 +(%class=abc%)
68 +1. Entscheide und begründe, ob {{formula}}\int_{-1}^{1}(x \cdot e^x) dx{{/formula}} größer, gleich oder kleiner 0 ist.
69 +1. Schätze den Wert des Integrals {{formula}}\int_{-1,4}^{0,7}(g(x)-f(x)) dx{{/formula}} ab und begründe.
70 +{{/aufgabe}}
71 +
72 +{{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
73 +Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
74 +* Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
75 +* Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
76 +und folgende bestimmte Integralwerte:
77 +
78 +(% style="display:flex"%)(((
79 +((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
80 +)))
81 +
82 +Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
83 +
84 +{{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
85 +{{/aufgabe}}
86 +
17 17  {{seitenreflexion/}}
Funktion f(x).png
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1 +XWiki.deborakemm
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graph_f.png
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xEhochxlog.png
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