Lösung Streifenmethode

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/10/16 14:46

Untersumme:

\[U_n = b^3\frac16(2-\frac3n+\frac1{n^2})\]

Obersumme:

\[O_n = b^3\frac16(2+\frac3n+\frac1{n^2})\]

Berechne den Wert dieser Summen für unterschiedliche n.
n 4 8 100
\(U_n\) 0,21875 0,27344 0,32835
\(O_n\) 0,46875 0,39844 0,33835
Betrachte die Terme und begründe, gegen welchen Wert beide für \(n\rightarrow\infty\) streben.
Für große n gehen die Brüche jeweils gegen null, sodass in der Klammer in beiden Formeln nur noch die 2 übrig bleibt.
\[\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} O_n = b^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} b^3\]
Damit berechnet sich die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; 2] zu:
\[\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} O_n = \frac{1}{3} 2^3 = \frac83\]