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Version 48.1 von Holger Engels am 2026/10/09 10:40
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen {{niveau}}e{{/niveau}}
7 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
8 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern {{niveau}}e{{/niveau}}
9 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen {{niveau}}g{{/niveau}}
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11 {{lernende}}
12 Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]]
13 {{/lernende}}
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15 --Deu­tung des be­stimm­ten In­te­grals (Be­stands­re­kon­struk­ti­on, z. B. zu­rück­ge­leg­te Stre­cke bei ver­än­der­li­cher Ge­schwin­dig­keit, Flä­che)--
16 --ge­krümm­te Rand­funk­ti­on--
17 --Nä­he­rungs­wei­se Be­rech­nung von In­te­gra­len (z. B. Käst­chen­zäh­len, Ober- und Un­ter­sum­me)--
18 Ori­en­tier­ter Flä­chen­in­halt (z. B. Zu- und Ab­fluss­men­ge)
19 Ei­gen­schaf­ten des be­stimm­ten In­te­grals (In­ter­val­l­ad­di­ti­vi­tät, Li­nea­ri­tät des In­te­grals, In­te­gral­wert ist Null bei un­ge­ra­den Funk­tio­nen und zu x=0 sym­me­tri­schen In­te­gra­ti­ons­gren­zen)
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21 == Bestandsrekonstruktion ==
22 {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
23 Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet:
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25 [[image:Gefäß.svg||class=center width=600]]
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27 Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen.
28 {{/aufgabe}}
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30 {{aufgabe id="Fahrstrecke" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
31 [[image:Fahrstrecke.svg||class="right" width=500]]Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt.
32 Bestimme die zurückgelegte Strecke.
33 {{/aufgabe}}
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35 {{aufgabe id="Photovoltaikanlage" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}}
36 [[image:Photovoltaik.svg||class="right" width=500]]Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit.
37 Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr //2 kWh// betrug.
38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="Test-Rakete" afb="II" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
41 Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Die Telemetrie wertet dabei aus, wie sich die Geschwindigkeit //v// (in m/s) über die Zeit //t// (in s) verändert (Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm). Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dabei dem zurückgelegten Weg //s// (in m).
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43 Bereits eingezeichnet ist ein unrealistisches Flugprofil, bei dem die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält.
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45 [[image:Rakete.svg||width=600]]
46 Zeichne für die beiden folgenden Flugprofile jeweils einen möglichen Graphen der Geschwindigkeit //v(t)// in das Koordinatensystem ein. Allen drei Flugprofilen ist die Dauer von 20 Sekunden und die Strecke von 600 Metern gemein.
47 (%class=abc%)
48 1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (//v(0) = 0//) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu.
49 1. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug startet die Rakete aus dem Stand (//v(0) = 0//), beschleunigt 8 Sekunden lang mit einer konstanten Rate, fliegt dann 4 Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit einer konstanten negativen Rate wieder 8 Sekunden lang bis zum Stillstand (//v(20)=0//) ab.
50 {{/aufgabe}}
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52 == Bestimmtes Integral ==
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54 == Eigenschaften ==
55 {{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}}
56 Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale
57 (%class=abc%)
58 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}}
59 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}}
60 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}}
61 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx {{/formula}}
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Bilanz null" afb="II" kompetenzen="K2, K5" quelle="Holger Engels" zeit="8"}}
65 Es gilt für das bestimmte Integral im Intervall {{formula}}[1; 5]{{/formula}}:
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67 {{formula}}\int_{1}^5 f(x) \, dx = 0{{/formula}}
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69 Gib jeweils eine Funktionsgleichung für {{formula}}f{{/formula}} an, die diese Bedingung erfüllt. Begründe jeweils Deine Wahl.
70 (%class=abc%)
71 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
72 1. {{formula}}f{{/formula}} ist eine Polynomfunktion.
73 {{/aufgabe}}
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75 {{aufgabe id="Rechenregeln" afb="III" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="9"}}
76 Gegeben sind zwei im Intervall {{formula}}[-5; 5]{{/formula}} stetige Funktionen {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}}. Es sind keine Funktionsterme bekannt, lediglich die Symmetrieeigenschaften:
77 * Der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung
78 * Der Graph der Funktion {{formula}}g{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse
79 und folgende bestimmte Integralwerte:
80
81 (% style="display:flex"%)(((
82 ((({{formula}}\int\limits_{0}^{3}f(x)\ dx=5{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{0}^{5}g(x)\ dx=14{{/formula}}))) ((({{formula}}\int\limits_{-3}^{3}(f(x)+g(x))\ dx=18{{/formula}})))
83 )))
84
85 Ermittle den exakten Wert des folgenden bestimmten Integrals:
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87 {{formula}}\int\limits_{-5}^{-3}g(x)\ dx{{/formula}}
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}