Wiki-Quellcode von BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt
Version 45.1 von Holger Engels am 2026/09/19 11:45
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{seiteninhalt/}} | ||
| 2 | |||
| 3 | [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten | ||
| 4 | [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten | ||
| 5 | [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln | ||
| 6 | [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen {{niveau}}e{{/niveau}} | ||
| 7 | [[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren | ||
| 8 | [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern {{niveau}}e{{/niveau}} | ||
| 9 | [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen {{niveau}}g{{/niveau}} | ||
| 10 | |||
| 11 | {{lernende}} | ||
| 12 | Siehe dazu [[Rekonstruktion einer Größe>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]] und [[Obersumme/Untersumme interaktiv>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Obersumme%20und%20Untersumme#erkunden]] | ||
| 13 | {{/lernende}} | ||
| 14 | |||
| 15 | --Deutung des bestimmten Integrals (Bestandsrekonstruktion, z. B. zurückgelegte Strecke bei veränderlicher Geschwindigkeit, Fläche)-- | ||
| 16 | gekrümmte Randfunktion | ||
| 17 | Näherungsweise Berechnung von Integralen (z. B. Kästchenzählen, Ober- und Untersumme) | ||
| 18 | Orientierter Flächeninhalt (z. B. Zu- und Abflussmenge) | ||
| 19 | Eigenschaften des bestimmten Integrals (Intervalladditivität, Linearität des Integrals, Integralwert ist Null bei ungeraden Funktionen und zu x=0 symmetrischen Integrationsgrenzen) | ||
| 20 | |||
| 21 | {{aufgabe id="Gefäß" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}} | ||
| 22 | Ein Gefäß sei zu Beginn der Beobachtung mit //10 l// gefüllt. Es wird folgender Zufluss/ Abluss beobachtet: | ||
| 23 | |||
| 24 | [[image:Gefäß.svg||class=center width=600]] | ||
| 25 | |||
| 26 | Bestimme den Füllstand nach diesen Veränderungen. | ||
| 27 | {{/aufgabe}} | ||
| 28 | |||
| 29 | {{aufgabe id="Fahrstrecke" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}} | ||
| 30 | [[image:Fahrstrecke.svg||class="right" width=500]]Das Schaubild zeigt den Geschwindigkeitsverlauf während einer Autofahrt. | ||
| 31 | Bestimme die zurückgelegte Strecke. | ||
| 32 | {{/aufgabe}} | ||
| 33 | |||
| 34 | {{aufgabe id="Photovoltaikanlage" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Integralrechnung/Rekonstruktion%20einer%20Gr%C3%B6%C3%9Fe]]" zeit="5"}} | ||
| 35 | [[image:Photovoltaik.svg||class="right" width=500]]Ein Speicher wird über eine Photovoltaikanlage geladen. Das Schaubild zeigt die Ladeleistung über die Zeit. | ||
| 36 | Bestimme näherungsweise die gespeicherte Energiemenge des Speichers um 18:00 Uhr unter der Annahme, dass sie morgens um 6:00 Uhr //2 kWh// betrug. | ||
| 37 | {{/aufgabe}} | ||
| 38 | |||
| 39 | {{aufgabe id="Integraleigenschaften" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Debora Kemm, Benjamin Kaiser" zeit="10"}} | ||
| 40 | Ermittle eine aufgsteigende Reihenfolge für den Wert der folgenden Integrale | ||
| 41 | (%class=abc%) | ||
| 42 | 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x+4} \, dx{{/formula}} | ||
| 43 | 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} e^{x-4} \, dx{{/formula}} | ||
| 44 | 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (-x^5 + 4x^3-2x)\, dx{{/formula}} | ||
| 45 | 1. {{formula}}\int_{-5}^{5} (\cos(\frac{1}{2}x)-3)\, dx {{/formula}} | ||
| 46 | {{/aufgabe}} | ||
| 47 | |||
| 48 | {{aufgabe id="Test-Rakete" afb="II" kompetenzen="K3,K4" quelle="Holger Engels" zeit="9"}} | ||
| 49 | Bei der Erprobung eines neuen Raketenantriebs werden verschiedene Flugprofile getestet. Die Telemetrie wertet dabei aus, wie sich die Geschwindigkeit //v// (in m/s) über die Zeit //t// (in s) verändert. Der orientierte Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeit entspricht dabei dem zurückgelegten Weg //s// (in m). | ||
| 50 | |||
| 51 | Zeichne für jedes der folgenden Flugprofile einen möglichen Graphen der Geschwindigkeit //v(t)// in das Koordinatensystem ein. | ||
| 52 | (%class=abc%) | ||
| 53 | 1. Konstante Geschwindigkeit: Die Rakete legt in den ersten 20 Sekunden eine Strecke von genau 600 Metern zurück. Zur Vereinfachung gehen wir in diesem (unrealistischen) Testfall davon aus, dass die Rakete schlagartig auf ihre Reisegeschwindigkeit kommt und diese die gesamten 20 Sekunden konstant hält. | ||
| 54 | 1. Konstante Beschleunigung: Die Rakete startet aus dem Stand (//v(0) = 0//) und beschleunigt für 20 Sekunden mit einer konstanten Rate. Die Geschwindigkeit nimmt also linear zu. Auch bei diesem Testflug legt sie in den ersten 20 Sekunden exakt 600 Meter zurück. | ||
| 55 | 1. Start-, Flug- und Bremsphase: In einem weiteren Testflug soll die Rakete ebenfalls exakt 600 Meter zurücklegen, dafür hat sie aber diesmal 40 Sekunden Zeit. Sie startet aus dem Stand, beschleunigt zunächst mit einer konstanten Rate, fliegt dann eine Zeit lang mit konstanter Geschwindigkeit und bremst am Ende mit einer konstanten negativen Rate wieder bis zum Stillstand (//v(40)=0//) ab. | ||
| 56 | {{/aufgabe}} | ||
| 57 | |||
| 58 | {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}} |