Lösung Reihenfolge von Verkettungen

Zuletzt geändert von Henrik Horstmann am 2026/10/19 18:55

1. Gleichheit der Verkettungen

Gegeben sind die Funktionen

\[f(x)=x^2,\qquad g_{a,b}(x)=ax+b,\qquad a,b\in\mathbb R.\]

Die beiden Verkettungen lauten:

\[(f\circ g_{a,b})(x)=(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2\]

\[(g_{a,b}\circ f)(x)=ax^2+b\]

Sie stimmen als Funktionen genau dann überein, wenn ihre Werte für alle reellen Eingaben gleich sind. Daher muss gelten:

\[a(a-1)x^2+2abx+b(b-1)=0\qquad\text{für alle }x\in\mathbb R.\]

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

\[a(a-1)=0,\qquad 2ab=0,\qquad b(b-1)=0.\]

Die erste Gleichung liefert zwei Fälle:

'''Fall \(a=0\):''' Die zweite Gleichung ist automatisch erfüllt. Die dritte liefert \(b=0\) oder \(b=1\).
'''Fall \(a=1\):''' Aus der zweiten Gleichung folgt \(b=0\). Damit ist auch die dritte Gleichung erfüllt.

Somit gilt:

\[\boxed{f\circ g_{a,b}=g_{a,b}\circ f\iff (a,b)\in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}.}\]

Zur Kontrolle:

{| class="wikitable"
! Parameterpaar
! Funktion
! Beide Verkettungen

\((0,0)\)

\(g(x)=0\)

konstante Funktion mit Wert 0

\((0,1)\)

\(g(x)=1\)

konstante Funktion mit Wert 1

\((1,0)\)

\(g(x)=x\)

Funktion mit Term \(x^2\)

}

'''Die Behauptung der Schülerin ist falsch.''' In diesen drei Fällen stimmen die Verkettungen für alle Eingaben überein.

Auch wenn man unter einer linearen Funktion nur Funktionen mit \(a\ne 0\) versteht, bleibt \(g(x)=x\) ein Gegenbeispiel.

2. Aussage und Beweis für alle Fälle

Satz

Für die gegebene Funktionenfamilie gilt:

Bei den Parameterpaaren \((0,0)\), \((0,1)\) und \((1,0)\) stimmen die Verkettungen für alle reellen Eingaben überein.
Bei allen anderen Parameterpaaren stimmen sie an höchstens zwei verschiedenen reellen Stellen überein.

Beweis

Wir betrachten das Differenzpolynom:

\[D_{a,b}(x)=(f\circ g_{a,b})(x)-(g_{a,b}\circ f)(x)=a(a-1)x^2+2abx+b(b-1).\]

Dieses Polynom hat höchstens Grad zwei.

Ist es das Nullpolynom, stimmen die Verkettungen überall überein. Der Koeffizientenvergleich aus Teil 1 liefert genau die drei genannten Parameterpaare.
Ist es nicht das Nullpolynom, besitzt es höchstens zwei verschiedene reelle Nullstellen. Genau an diesen Stellen stimmen die Verkettungen überein.

Damit ist der Satz bewiesen.

Genauere Fallunterscheidung

Die Anzahl der reellen Eingaben, an denen die Verkettungen denselben Wert liefern, lässt sich vollständig bestimmen:

{| class="wikitable"
! Parameterbedingungen
! Anzahl verschiedener Stellen mit gleichem Ergebnis

\((a,b)\in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}\)

alle reellen Stellen

\(a=0,\quad b\notin\{0,1\}\)

keine

\(a=1,\quad b\ne 0\)

genau eine

\(a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)<0\)

keine

\(a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)=0\)

genau eine

\(a\notin\{0,1\},\quad ab(b+a-1)>0\)

genau zwei

}

'''Begründung:'''

Für \(a=0\) ist das Differenzpolynom konstant:

\[D_{0,b}(x)=b(b-1).\]

Es ist entweder das Nullpolynom oder besitzt keine Nullstelle.

Für \(a=1\) und \(b\ne 0\) ist das Differenzpolynom linear:

\[D_{1,b}(x)=b(2x+b-1).\]

Es besitzt genau eine Nullstelle:

\[x=\frac{1-b}{2}.\]

Für \(a\notin\{0,1\}\) ist das Differenzpolynom quadratisch. Seine Diskriminante lautet:

\[\Delta=(2ab)^2-4a(a-1)b(b-1)=4ab(b+a-1).\]

Eine negative Diskriminante bedeutet keine reelle Nullstelle, eine Diskriminante von null genau eine und eine positive Diskriminante genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Vollständigkeit

Die Fälle \(a=0\), \(a=1\) und \(a\notin\{0,1\}\) erfassen alle reellen Werte des Parameters.

Innerhalb dieser Fälle wurden sämtliche Möglichkeiten für das konstante, lineare beziehungsweise quadratische Differenzpolynom berücksichtigt. Die Untersuchung ist daher vollständig.

3. Vergleich an drei verschiedenen Stellen

Für die vorliegende Funktionenfamilie

'''Der Vorschlag ist geeignet.'''

Stimmen die Verkettungen an drei verschiedenen Stellen \(x_1,x_2,x_3\) überein, gilt:

\[D_{a,b}(x_1)=D_{a,b}(x_2)=D_{a,b}(x_3)=0.\]

Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad höchstens zwei kann jedoch nicht drei verschiedene Nullstellen besitzen. Daher muss das Differenzpolynom das Nullpolynom sein.

Folglich stimmen die Verkettungen für alle reellen Eingaben überein.

'''Wichtig:''' Die drei Stellen müssen verschieden sein, und die Gleichheit der Werte muss exakt nachgewiesen werden. Gerundete Zahlenwerte allein liefern keinen Beweis.

Zwei Vergleichsstellen reichen im Allgemeinen nicht aus. Beispielsweise ergibt sich für \(a=2\) und \(b=1\):

\[D_{2,1}(x)=2x^2+4x=2x(x+2).\]

Die Verkettungen stimmen bei \(x=0\) und \(x=-2\) überein, sind aber nicht als Funktionen gleich.

Für beliebige Funktionen

'''Bei beliebigen Funktionen reichen drei Vergleichsstellen nicht aus.'''

Ein Gegenbeispiel liefern die Funktionen:

\[u(x)=0,\qquad v(x)=x(x-1)(x-2).\]

An den drei Stellen 0, 1 und 2 stimmen die Funktionen überein. Trotzdem sind sie nicht gleich, denn:

\[u(3)=0,\qquad v(3)=6.\]

Auch wenn ausschließlich Verkettungen verglichen werden, reicht das Verfahren bei beliebigen Funktionen nicht aus. Wähle beispielsweise:

\[F(x)=x+1,\qquad G(x)=x+x(x-1)(x-2)(x-3).\]

An den Stellen 0, 1 und 2 stimmen die Verkettungen überein:

\[(F\circ G)(0)=(G\circ F)(0)=1,\]

\[(F\circ G)(1)=(G\circ F)(1)=2,\]

\[(F\circ G)(2)=(G\circ F)(2)=3.\]

An der Stelle 3 unterscheiden sie sich jedoch:

\[(F\circ G)(3)=4,\qquad (G\circ F)(3)=28.\]

'''Fazit:''' Nicht die Anzahl der geprüften Stellen allein ist entscheidend, sondern die bekannte Struktur der Funktionen. Bei der vorliegenden Funktionenfamilie macht die Gradschranke des Differenzpolynoms den Drei-Stellen-Vergleich zu einem Beweis.