Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2026/08/13 13:32
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 Ob und wie oft sich zwei trigonometrische Funktionen schneiden hängt zum einen von ihren Wertebereichen ab, zum anderen von ihren Periodenlängen.
2 Um die Situation //nur einen gemeinsamen Punkt// zu konstruieren, denkt man am besten zunächst über die Wertebereiche nach. Hier gibt es drei Möglichkeiten:
3 * Die Wertebereiche sind disjunkt .. dann gibt es keine Schnittpunkte
4 * Die Wertebereiche //überlappen// sich .. dann finden wir Schnittpunkte vor
5 * Die Wertebereiche //berühren// sich .. dann entstehen Berührpunkte
6
7 Ohne es zu beweisen, darf man vermuten, dass es bei sich überlappenden Wertebereichen eher mehr gemeinsame Punkte gibt, als bei sich berührenden. Für die gewünschte Situation erscheint das also der geeignetere zu sein.
8
9 Wir stellen also beispielsweise folgende zwei Funktionen auf:
10
11 {{formula}}f(x) = cos(x){{/formula}}
12
13 {{formula}}g(x) = 2 - cos(kx){{/formula}}
14
Holger Engels 3.2 15 .. mit den Periodenlängen ..
16
17 {{formula}}p_f=2\pi{{/formula}}, {{formula}}p_g=\frac{2\pi}{k}{{/formula}}
18
Holger Engels 3.3 19 Von diesen wissen wir, dass sie sich im Punkt {{formula}}P(0|1){{/formula}} berühren. Jetzt gilt es, ein //k// zu finden, für das es keinen weiteren Berührpunkt gibt. Sprich: wir suchen ein //k// für das das //a//-fache der Periodenlänge von //g// nicht gleich einem //b//-fachen von //f// ist ({{formula}}a, b \in \mathbb{N}{{/formula}}). Die folgende Gleichung soll also keine Lösung haben:
Holger Engels 1.1 20
Holger Engels 3.1 21 {{formula}}\Rightarrow a\cdot p_f = b\cdot p_g{{/formula}}
22 {{formula}}\Rightarrow \frac{a}{b}\cdot p_f = p_g{{/formula}}
23
Holger Engels 3.2 24 Statt {{formula}}\frac{a}{b}{{/formula}} schreiben wir im Folgenden {{formula}}q \in \mathbb{Q}{{/formula}}:
Holger Engels 3.1 25
26 {{formula}}q\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{k}{{/formula}} | {{formula}}:2\pi{{/formula}}
27 {{formula}}\Rightarrow q = \frac{1}{k}{{/formula}}
Holger Engels 2.1 28
Holger Engels 3.5 29 //q// ist genau dann eine rationale Zahl, wenn //k// ebenfalls eine rationale Zahl ist. Es gibt also keine weiteren Berührpunkte, wenn //k// eine irrationale Zahl ist.
Holger Engels 2.1 30
Holger Engels 3.5 31 Die folgenden beiden Funktion haben ausschließlich den gemeinsamen Punt {{formula}}P(0|1){{/formula}}:
Holger Engels 2.1 32
Anna Kukin 3.6 33 {{formula}}f(x) = \cos(x){{/formula}}
Holger Engels 3.4 34
Anna Kukin 3.6 35 {{formula}}h(x) = 2 - \cos(\sqrt{2}x){{/formula}}
Holger Engels 3.4 36